درس سوم مکانیک سنگ- تنش و کرنش
ويژگي هاي فيزيکي، مکانیکی و خواص شاخص سنگ ها
سنگ‌های بر دارنده سازه ها یا در بر گیرنده حفریه ها، قبل و بعد از احداث تحت تنشهای متعددی قرار دارند:
- در زمین، حالت تنش طبیعی وجود دارد که باید آن را به طور مستقیم اندازه‌گیری کرد و سپس در تحلیل و طراحی به کار بست.
- احداث هر سازه سطحی یا حفریة زیرزمینی در سنگ ها معادل القای وضعیت جدیدی از نیروها در توده سنگ است.
بنابراین درک مفاهیم نیرو، تنش و کرنش از اصول و الزامات درک مناسب رفتار توده سنگ‌ها هستند. تنش کمیّتی است که در غالب تانسور مرتبه‌ی دوم قابل بررسی است و درک تنش بدون فهمیدن مسائل بنیادی آن، دشوار است. تانسورها بستر ریاضی مناسب و ساده‌ای را جهت فرمول‌بندی و حل مسائل متعدد در سیطره‌ی مباحث گوناگون فیزیک، نظیر مکانیک سیالات و جامدات، ایجاد می‌کنند.
خلاصه درس تبدیل تنش دوبعدی یا تنش صفحه ای:
تنش یک کمیت تانسوری است یعنی کمیتی است که هم اندازه دارد، هم جهت دارد، و هم صفحه ی تاثیر دارد. در واقع تنش مقداری از یک بردار نیرو است که بر یک سطح وارد می شود و واحد آن N/m2 یا Pa ست و در فشار به صورت σ = P/A و در برش با τ =T/A بیان می شود. در مکانیک سنگ تنش فشاری مثبت و تنش کششی منفی است. تنش برشی اگر در راستای بردار مماس سطح باشد منفی و اگر در خلاف جهت بردار مماس سطح باشد، مثبت است. بردار مماس هر سطح المان یعنی اینکه بردار عمود و به سمت خارج هر سطح 90 درجه در جهت مثلثاتی بچرخد. پَس، روی صفحه سمت راست، اگر تنش برشی رو به پایین باشد و یا اینکه برش طوری باشد که المان را در جهت ساعتگرد بچرخاند، علامت تنش برشی روی آن مثبت است. بنابراین حالت تنش روی یک المان صفحه ای به صورت زیر است:
حال اگر یک المان که حالتی از تنش بر آن اثر می کند، به اندازه ی α درجه در جهت مثلثاتی بچرخد (مانند شکل زیر)، با ثابت فرض کردن راستای نیروهای اعمال شده، حالت تنش جدید موثر بر روی سطوح المان چگونه است؟ و یا اگر یک صفحه ی ناپیوستگی در داخل المان وجود داشته باشد که با محور x زاویه ی α داشته باشد، حالت تنش وارده بر این صفحه چگونه است؟
برای پاسخ به این سوال از روش ترسیمی دایره ی موهر استفاده می کنیم. روش کار به این ترتیب است:
– دستگاه مختصاتی را که محور افقی آن σ و محور قائم آن τ است را در نظر می¬گیریم.
– دو نقطه ی F (x,τxyσ) و G (σy , τyx) را با توجه به علامت های قراردادی گفته شده در بالا، در دستگاه رسم می کنیم.
– پاره خط FG را رسم می کنیم. این پاره خط محور افقی را در نقطه C قطع می کند.
– دایره ای به مرکز C و شعاع FC رسم می کنیم. تمامی مختصات محیط این دایره نشان دهنده ی حالات مختلف تنش روی المان، تحت دوران های گوناگون است.
– نقطه ی F بیانگر حالت تنش روی ضلع ab بود. نقطه ی G بیانگر حالت تنش روی ضلع ad است. حال می خواهیم بدانیم اگر ضلع ab در جهت مثلثاتی به اندازه ی α دوران کند حالت تنش روی این ضلع چگونه خواهد بود؟
– می دانیم ضلع ab به اندازه ی α دوران کرده است پس اگر از نقطه ی F به اندازه ی 2α در خلاف جهت مثلثاتی (یا ساعتگرد) روی محیط دایره حول مرکز آن بچرخیم، حالت تنش در شرایط دوران یافته یعنی نقطه ی H به دست می آید. به طوری که طول نقطه ی H برابر با تنش عمودی وارده و عرض این نقطه برابر با تنش برشی وارده بر ضلع ab در حالت دوران یافته است (توجه: این توضیحات برای حالتی از دایره موهر است که راستای مثبت تنش برشی به سمت بالا فرض شود. اگر راستای مثبت محور تنش برشی به سمت پایین فرض شود برای یافتن حالت تنش جدید می بایست در جهت مثبت مثلثاتی یا پاد ساعتگرد روی محیط دایره موهر حرکت کنیم).
یا اینکه می خواهیم بدانیم حالت تنش روی صفحه ی ناپیوستگی که با محور x زاویه ی α ساخته است چگونه خواهد بود. همان طور که گفته شد، نقطه ی F بیانگر حالت تنش روی ضلع ab بود. نقطه ی G بیانگر حالت تنش روی ضلع da است. برای این منظور داریم:
– می دانیم ضلع ab باید به اندازه ی 90+α (یعنی زاویه ی بین بردار عمود بر سطح ضلع ab و بردار عمود بر سطح صفحه ناپیوستگی) درجه در جهت مثلثاتی دوران یابد تا بر صفحه ی ناپیوستگی منطبق شود، بنابراین اگر از نقطه ی F به اندازه ی 2(90+α) درجه در خلاف جهت مثلثاتی حول C دوران کنیم، نقطه ی بدست آمده (I) بیانگر حالت تنش روی صفحه ی ناپیوستگی است.
– از نقطه ی G نیز می توان حالت تنش روی صفحه ی ترک را به دست آورد به طوری که می دانیم ضلع ad باید به اندازه ی α در جهت مثلثاتی دوران کند تا بر صفحه ناپیوستگی منطبق شود، یعنی در واقع زاویه ی بین بردار عمود بر ضلع ad و بردار عمود بر صفحه ناپیوستگی برابر α در جهت مثلثاتی است، بنابراین اگر از نقطه ی G به اندازه ی 2α در خلاف جهت مثلثات حول C دوران کنیم نقطه I بدست خواهد آمد.
بدین ترتیب تمامی حالات تنش برای یک المان که تحت یک میدان نیروی ثابت قرار دارد بدست می آید. نکته ی قابل ذکر این است که حالت تنش اصلی و حالت تنش برشی بیشینه به راحتی از روی این دایره قابل محاسبه است.
– حالت تنش اصلی یعنی اینکه تنها تنش وارده بر ضلع (یا سطح) المان از نوع فشاری یا کششی بوده و تنش برشی صفر باشد که این حالت همان محل تقاطع دایره با محور افقی دستگاه است که با P1 و P2 نشان داده شده است که به آنها تنش های اصلی (Principal Stress) گویند.
– تنش برشی بیشینه و کمینه یعنی اینکه در چه حالتی حداکثر یا حداقل تنش برشی (از نظر علامت)، روی ضلع المان ایجاد می شود. نقطه ای که طول آن C وعرض آن برابر با شعاع دایره باشد بیانگر چنین حالتی است که در دستگاه با Tmax وTmin نشان داده شده است.
– همچنین با استفاده از این دایره به راحتی می توان گفت که المان موجود چقدر دوران کند تا تنش های اصلی روی آن ایجاد شوند. اگر زاویه ی بین نقطه F و P1 برابر با 2β در خلاف جهت مثلثاتی باشد، با دوران المان به اندازه ی β در جهت مثلثاتی، تنش های اصلی روی ضلع ab نمایان می شوند.
– همینطور با استفاده از این دایره به راحتی می توان گفت که المان موجود چقدر دوران کند تا تنش های برشی بیشینه روی آن ایجاد شوند. اگر زاویه ی بین نقطه F و Tmax برابر با 2θ در جهت خلاف مثلثات باشد، با دوران المان به اندازه ی θ در جهت مثلثاتی، تنش های برشی بیشینه روی ضلع ab نمایان خواهند شد.
حال در ادمه با استفاده از روش تحلیلی روابط مورد نیاز برای حل این گونه مسائل ارائه می شود. فرض شده است که المان به اندازه ی α حول مرکز خود در جهت مثلثاتی دوران یافته است، به طوری که دستگاه xy پس از دوران در موقعیت LM قرار می گیرد. پس داریم:
حل مثال برای حالت تنش دوبعدی
1) مقادیر مولفه های متعامد تنش نسبت به دستگاه مختصاتی مرجع xy با رعایت علائم قرار دادی در روش تحلیلی از این قرارند:
– مقادیر تنش عمودی و برشی بر روی صفحه ی X1 که با صفحه ی x زاویه ی 45 درجه در جهت مثلثاتی می سازد را تعیین کنید.
– مقادیر تنش عمودی و برشی بر روی صفحه ی y1 که با صفحه ی x زاویه ی 135 درجه در جهت مثلثاتی میسازد را تعیین کنید.
– موقعیت صفحات اصلی تنش را نسبت به صفحه x (محور x) تعیین کنید (زاویه ی دوران).
– مقدار و نوع تنش های عمودی وارده بر صفحات اصلی را تعیین کنید (σmax , σmin).
– موقعیت صفحات اصلی برش را تعیین کنید (زاویه ی پرخش نسبت به x).
– مقادیر تنش ها برشی بیشینه و کمینه را تعیین کنید.
– مقدار تنش عمودی وارده بر صفحات اصلی برش چقدر است؟
– دایره ی موهرتنش را برای المان مورد نظر رسم کنید.
حل:
توجه شود صفحه ی عمود بر محور x را صفحه ی x می نامند. البته در حالت دو بعدی باید گفت ضلع عمود بر محورx را صفحه ی x می نامیم.
تمرین تبدیل تنش دو بعدی
(1) جسمی صفحه ای شکل به صورت زیر داده شده، شدت تنش قائم و برشی موثر بر روی امتداد قطر مستطیل را به دست آورید.
جواب : σn=-100.45 KPa , τn=-199.65 KPa , θ=63.5
(2) موقعيت تنش در يک نقطه در داخل توده سنگی به صورت زير می باشد (که در آن واحد تنش مگاپاسکال است) مطلوب است :
– رسم دايره موهر
– تعيين امتداد و مقدار و تنشهای اصلی و تنش های برشی ماکزيمم و مینيمم.
– محاسبه تنشهای عمودی و برشی که بر روی سطح ناپیوستگی موجود در سنگ وارد می شود
جواب : σ1=37.26 MPa, σ2=-5.26 MPa, τmax,min=±21.26 MPa, αs=-24.4˚, αp=20.6˚ σn=-4.12 MPa, τn=6.85 MPA
(3) موقعيت تنش بر روی يک جزء کوچک در داخل يک توده سنگی به صورت زير می باشد . مطلوب است :
– محاسبه تنشهای اصلی و تنش های برشی ماکزيمم و می نيمم
– تعيين جهت تنش های برشی ماکزيمم و مینيمم وارده
– رسم صفحاتی که تنش های فوق روی آن وارد می شود.
– حالت تنش وارده بر روی صفحه¬ای که با صفحه ی اصلی حداکثر زاویه ی 30 درجه در جهت مثلثاتی میسازد را تعیین کنید.
جواب : σ1=435 MPa, σ2=115 MPa, τmax,min=160 MPa, αs=25.67˚,αp=-19.33˚, σn=355MPa, τn=-138.56 MPa,
