درس چهارم مکانیک سنگ- تنش های برجا
نحوه برآورد تنش های برجای زمین سنگی
تنش برجا (in situ stress) تنشی است که قبل از رخ دادن هرگونه آشفتگی مصنوعی (فعالیت های انسانی) در سنگ وجود داشته و نتیجه ی رویدادهای مختلف وقوع یافته در تاریخ زمین شناسی توده سنگ است. واژه های مترادف آن شامل تنش های بکر (virgin stress)، تنش های فعال (active stress) و تنش های اولیه (initial stress) است.
در انجا فرض شده است تنش های موجود در زمین در سه راستای عمود برهم قرار دارند. به طوری که یک مولفه ی تنش در راستای قائم و دو مولفه ی دیگر تنش در راستای افقی اثر می کنند. نحوه ی جهت گیری تنش حداکثر (σ1) و تنش متوسط (σ2) و تنش حداقل (σ3)، با استفاده از رویداد انواع گسل های موجود در منطقه قابل تخمین است (شکل زیر).
تنش قائم (vσ): با افزایش عمق، به علت افزایش وزن لایه های زمین، مولفه قائم تنش افزایش می یابد، پس فرض می شود تنش عمودي یا قائم، برابر با وزن سنگ های روباره بوده و به صورت زیر بیان می شود.
σv= γ.h
که در آن γ وزن مخصوص سنگ های روباره بوده و بر حسب مگانیوتن بر مترمکعب بیان می شود (مثلاً برای بعضی انواع زغال سنگ، 0.01 و برای بعضی شیل ها 0.023 مگامیوتن بر مترمکعب و برای گابرو 0.03 و به طور متوسط برای انواع سنگ ها MN/m3 0.027 است. عبارت h نیز عمق مورد نظر و یا ارتفاع سنگ های روباره است که بر حسب متر بیان می شود. بدین ترتیب تنش قائم بر حسب MPa (مگاپاسکال) از رابطه بالا بدست می آید.
تنش افقی (σh): برای بیان چگونگی تغییرات تنش افقی نیاز است مقدمه ای از روابط الاستیسیته بیان شود.
– قبلاً گفته شد که تنش برابر است با σ = P/A ، کرنش نیز در اجسام الاستیک برابر است با ε = ∆L/L (کرنش محوری) و ε = ∆D/D (کرنش عرضی).
– مدول الاستیسیته یا مدول یانگ نیز به صورت، کرنش محوری/ تنش محوری = E ، بیان می شود.
E=σ/ε
– بنابر رابطه ی هوک در الاستیسیته برای محاسبه ی کرنش های قائم و کرنش افقی در درستگاه سه بعدی داریم:
حال برای داشتن حدس و تخمین اولیه از مقدارتنش های افقی، این فرض در نظر گرفته می شود که دو تنش افقی برابر هستند. بنابراین فرض، کرنش افقی ای وجود ندارد یعنی عبارات εh1 و εh2 صفر هستند. پس داریم:
بدین ترتیب مشاهده شد که تنش افقی می تواند با تنش قائم رابطه داشته باشد. نسبت مقدارتنش افقی بر مقدار تنش قائم را با K نشان داده و به آن نسبت تنش می گویند.
K=σh/σv
محاسبه ی مقدار نسبت تنش k تغییر یافته دراثر فرسایش زمین که توسط ترزاقي ارائه شد، بدین صورت است:
الماني از سنگ را در عمق Z با مقدار اوليه K=Kο در نظر بگيريد كه ارتفاع روباره در اثر فرسايش به ميزان Δz تحت اثر كاهش بار قرار گرفته است. بعلت كاهش بار قائم، بديهي است كه تنش قائم به ميزان γΔz كاهش يافته است و طبعاً در اين ارتباط تنش افقي هم بميزان γΔz(ν/1-ν) كاهش مي‌يابد. بنابراين پس از فرسايش سنگ بميزان Δz، تنش افقي در عمق Z=Zο–Δz برابر خواهد بود با:
همانطور كه مشاهده مي‌شود در اثر فرسايش سنگ، مقدار K افزايش يافته است (اگر Δz به Zo میل کند، Z به صفر میل می کند، بنابراین مقدار Kz به بینهایت میل می کند). به عبارتي مقدار تنش افقي از تنش قائم در يك عمق معين و كمتر از آن عمق ببیشتر می شود، يعني K بزرگتر از يك مي‌شود. يا بعبارت ديگر مقدار K با Z نسبت عكس دارد. همان طور که ذکر شد روابط ارائه شده بر دو فرض تقریباً غیر واقعی الاستیک بودن سنگ و برابر بودن تنش های افقی استوار است، بنابراین رابطه ی ارائه شده چندان کاربرد عمومی ندارد. برای بهبود این رابطه برخی روش های تجربی ارائه شده اند که در ادامه بعضی از آنها ذکر می شود:
رابطه نسبت تنش شئوری:
توسط این رابطه نیز مقدار تنش افقی متوسط در زمین قابل تخمین است.
که در آن ν ضریب پواسون، γ وزن مخصوص سنگ برحسب نیوتن برمترمکعب، z عمق برحسب متر، Eh مدول دگرشکلی متوسط افقی بر حسب پاسکال، β ضریب انبساط حرارتی خطی (یا طولی) بر حسب یک بر سیلیسیوس (˚l / C) و G گرادیان حرارتی زمین بر حسب سانتیگراد بر متر است. مقدار β= 6-8E برحسب را می توان به طور متوسط برای اغلب سنگ ها بجز ذغال پذیرفت. گرادیان حرارتی برای سنگ های پوسته را نیز می توان برابر با 0.024 سانتیگراد بر متر فرض کرد. همچنین اگر مقادیر ضریب پواسون و دانسیته ی سنگ ها به ترتیب برابر با 0.25 و 27000 نیوتن بر مترمکعب باشد، مقدار متوسط نسبت تنش افقی به تنش قائم (k) را می توان به صورت زیر بیان کرد که در آن واحد مدول تغییر شکل افقی گیگاپاسکال است:
هوک و براون اظهار داشتند که مقادیر مختلف k که از اندازه گیری در نقاط مختلف جهان بدست آمده اند در محدوده ی زیر قرار دارند:
تمرین تنش های برجا
(1) وضعيت تنش ثقلي و افقی در عمق 200 متري توده سنگ با وزن مخصوص 2.7 تن بر مترمکعب را ارزيابي كنيد. (υ = 0.3).
(2) تنش موثر در نقطهای در عمق 1000 متری از سطح زمین که طبقات فوقانی آن از لایه های مختلف سنگی تشکیل شده و جرم مخصوص متوسط کل این لایه ها 2670 کیلوگرم بر مترمکعب باشد، چقدر است؟
(3) تنش موثر افقی و قائم طبق تئوری الاستیسیته در نقطه A که طبقات فوقانی آن از لایه های مختلف سنگی تشکیل شده، چقدر است؟
(4) در مطالعه موردی ارائه شده در سوال ( 3 )، در عمق 300 متری نمونه برداری با استفاده از روش مغزه گیری انجام شده است. مدول دگرشکلی (E) نمونه در آزمایشگاه برابر با 4 گیگاپاسکال محاسبه شد. طبق نظر شئوری تنش افقی در نقطه ی A چقدر است؟
(5) المانی از سنگ در عمق 2400 متری از سطح زمین تحت تاثیر تنش های قائم و افقی یکسانی قرار دارد. در طی میلیون ها سال در اثر فرسایش از ضخامت پوشش فوقانی به میزان 1200 متر کاسته شده است. در صورتی که گرادیان تنش در منطقه 0.026 MPa/m و ضریب پواسون 0.25 باشد، با استفاده از تئوری الاستیسیته نسبت تنش افقی بر قائم امروز را حساب کنید.
